Brownian Motion and Stochastic Calculus, de Karatzas et Shreve

Ioannis Karatzas et Steven Shreve sont tous deux professeurs respectivement à l’université de Columbia à New York et à la Carnegie Mellon University à Pittsburgh. Leurs champs de recherches portent sur les probabilités, le calcul stochastique et leurs applications à la finance.

La seconde édition de leur ouvrage Brownian Motion and Stochastic Calculus, publiée en 1991, a rapidement conquis les milieux universitaires. Bien conçu et particulièrement rigoureux, le livre, parsemé d’exercices dont on peut retrouver les corrections en fin de chapitres, est un ouvrage dédié à tous ceux qui veulent se plonger au cœur des notions de Browniens et acquérir les outils théoriques de base de l’intégration stochastique.

Le chapitre 1 du livre présente les propriétés basiques des martingales, et en particulier la généralisation en temps continu des notions connues dans le cadre des martingales à temps discret telles que le théorème de convergence des martingales ou la décomposition de Doob Meyer. Le chapitre 2 contient différentes constructions du mouvement Brownien et aborde les propriétés de Markov et Markov forte pour les processus à temps continu. Les auteurs y présentent aussi les différents types de filtrations généralement associées au mouvement Brownien.

Le chapitre 3 est consacré à la théorie de l’intégration stochastique. Les auteurs s’attèlent à la construction de l’intégrale stochastique et présentent la formule d’Ito, avant d’aborder le théorème de Girsanov, qui permet le changement de mesures. Le chapitre 4 traite des connexions entre mouvement Brownien et les équations aux dérivées partielles telles l’équation de la chaleur ou l’équation de Laplace. Les théorèmes d’existence et d’unicité de solutions sont fournies pour par des méthodes probabilistes pour ces deux équations. Les formules de Feynman and Kac sont ensuite établies en fin de chapitre.

Le chapitre 5 revient sur le thème de l’intégration stochastique et des équations différentielles stochastiques. Les notions de solutions faible et forte sont présentées. La théorie élaborée par Ito pour les solutions fortes et ces quelques ramifications, ainsi que l’étude des solutions faibles, sont abordées. Des applications de nombreux thèmes développées au chapitre 3 et dans ce chapitre 5 sont aussi présentées par les deux mathématiciens, en l’occurrence les questions de valorisation des options et de gestion optimale de portefeuille qui bénéficient respectivement grâce d’outils tels que le théorème de Girsanov et le théorème de représentation de Martingale.

Le dernier chapitre du livre, le chapitre 6, dérive en grande partie du travail de Paul Lévy sur les excursions Browniennes. Les deux auteurs y présentent des résultats tels le mouvement brownien élastique de Feynman-Kac, les formules de Williams et Taylorn et la description du temps local brownien effectuée par de Ray-Knight.

L’habituelle bibliographie clôture le livre des deux chercheurs, Shreve et Karatzas. Près de 470 pages de cours, de théorèmes, de démonstrations et de petits problèmes corrigés plus ou moins intéressants, mais aussi, de détails non fondamentaux à certains moments et de notations parfois insipides susceptibles d’égarer le lecteur du thème central. Dans tous les cas, même si le livre nécessite un certain background en théorie de la mesure, et que cela peut poser quelques soucis à des mathématiciens non rompus à ces notions, il n’en reste pas moins un des principaux ouvrages de référence pour attaquer en profondeur le calcul stochastique.